作家：Anders Kock（安德烈亚斯·科克，丹麦奥胡斯大学）2023-6-30

译者：zzllrr小乐，数学科普微信公众号 2023-7-3

弗朗西斯·威廉·劳维尔（Francis William Lawvere）是20世纪末于今最有影响力的东谈主物之一，因为他通过矫正范围论器用来长入和简化数学。本文尝试描写这一历程中的一些里程碑和愿景。

1 连气儿统物理（Continuum physics，即连气儿介质物理）

劳维尔降生于1937年2月，是印第安纳州芒西的一个农民的女儿。他在印第安纳大学学习物理学，很快就合计推理需要领受更多可用的以及更明确的基础，尤其是在连气儿统（连气儿介质）物理学中。他在印第安纳州是施普林格期刊《感性力学与分析档案 Archive for Rational Mechanics and Analysis》创始东谈主克利福德·特鲁斯德尔（Clifford Truesdell）的学生。特鲁斯德尔也有访佛的基础议程。劳维尔此时如故看到了范围论方法的必要性。第一步是为了结束“范围能源学 categorical dynamics”（其中一些在1960年代末结束）。环节的一步是他对函数空间酿成的范围论表述，用到了通用性（随同函子 adjoint functor）：笛卡尔闭范围（Cartesian closed categories）。

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F.威廉·劳维尔，布拉加，2007年3月

特拉斯德尔暗里接洽了艾伦伯格，以促使劳维尔看成艾伦伯格的博士生插足哥伦比亚大学（1960-63），其中1961-63年有一次中断，其时劳维尔去了加利福尼亚，从大家塔斯基（Tarski），斯科特（Scott）等何处学习更多的采集论和逻辑。在加州时期，劳维尔完成了他（在哥伦比亚大学）对于代数表面的函子语义学的博士论文，其中异常是代数表面的宗旨所以无示意的花式给出的。

2 采集的范围

对于劳维尔本东谈主来说，他寻找可用和可教的数学基础的更始点，是1963-64年在俄勒冈乡镇德学院担任助理进修。2007年在布拉加 （葡萄牙）玛丽亚·曼努埃尔·克莱门蒂诺（Maria Manuel Clementino）和乔治·皮卡多（Jorge Picado）对劳维尔进行的繁密采访中[2]，劳维尔说：

在里德，我被陶冶，微积分的第一年应该专注于基础，第二年教公式。因此[...]我花了几个星期的准备时辰试图策画基于ZF（策梅洛-弗兰克尔，Zermelo–Fraenkel）采集论的微积分课程。然则，安谧评估之后发现，从荫藏微分和积分的积贮档次结构中，界说层数太多，而无法在一年内完成这些档次。康托尔无结构采集的范围结构似乎既简短又接近。因此，采集范围的基本表面产生于纯正的施行栽植需要。

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F. W.劳维尔， A. Heller， R. Lavendhomme （后排）和A. Carboni在葡萄牙科英布拉的CT99

劳维尔的好多半学配置（宗旨，构造和定理）是由于侵犯矫正微积分和工程数学涵养的成果，况兼这些侵犯导致他得出论断，数学（即使是微积分课程）的可行基础，不成在ZF中使用x∈y（成员）来表述，但不错把柄映射的宗旨来表述ƒ: A → B（过火合成）。劳维尔，在2007年布拉加的采访中说[2]:

从玄学上讲，不错说这些发展复旧了，即使在采集论和初等数学中，正如在高等代数和拓扑学中永久以来所感受到的那样，这亦然正确的，即数学的骨子并不存在于骨子中，（∈“属于”是不可约的谓词它看起来很像骨子），而是存在于神志中（举例由通用映射属性界说，有影响的宗旨是同构不变结构）。与代数和拓扑学一样，这里用于精准抒发和灵验处理这些想法的具体时候机器，是由Eilenberg-Mac Lane的范围论，函子和当然变换表面提供。

在里德学院学习一年后，劳维尔去了苏黎世，1964-66年他在何处打听了贝诺·埃克曼数学考虑所。埃克曼收效眩惑了多位范围论学家参与。值得小心的是，票据（monad）的宗旨以及它与代数表面和同调性的关系被开荒（见[3]）。

从苏黎世起程，不错参加在德国南部隔壁的Oberwolfach（奥伯沃尔法赫）举行的研讨会。在这里，劳维尔碰到了彼得·加布里埃尔（Peter Gabriel），并向他学习了格罗滕迪克（Grothendieck）的几何学方法，如SGA4中所述[1]。

3 格罗滕迪克

格罗滕迪克的使命对劳维此其后的使命产生了根人道的影响。他们第一次碰头是在尼斯的ICM（1970年海外数学家大会），他们都是受邀演讲者。劳维尔在这里公开反对格罗滕迪克在一个单独的演讲中宣传他的“生涯”领略。

1973年，他们都来访布法罗（Buffalo）。劳维尔在布拉加的采访中说：

我明晰地铭刻他指引我代数几何的基本见地，如“点具有自同构”。1981年，我去法国南部的一块薰衣草田中他住的石屋看望他，筹商他对一个花式的看法[...]。我终末一次见他是在1989年的统一个场地（Aurelio Carboni从米兰开车送我去何处）：他显豁很欢欣见到我，但因为宗教誓词不话语；他在一张纸上写谈，他也被阻遏运筹帷幄数学，尽管很快他的数学灵魂告成了，留给我一些珍稀的数学札记。

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1997年3月在葡萄牙科英布拉讲学

4 范围能源学和玄虚微分几何

在1967年的大部分时辰里，劳维尔是芝加哥大学的助理进修。劳维尔在这里开动在高等讲座系列中应用格罗滕迪克的拓扑斯（topos）表面，围绕连气儿介质力学的简化基础问题，灵感来自Truesdell（特鲁斯德尔）和Noll（诺尔）的公理化。该系列Mac Lane，Jean Bénabou，Eduardo Dubuc等东谈主包括作家（其时正在劳维尔的率领下完成一篇论文）出席了会议。研讨会的异常产出不是王人备熟悉的范围能源学，而是它的能源学基础的想法：对于假设的 “无尽小”对象D（诈骗假设空间范围的笛卡尔闭结构），具有可示意的切丛结构T(M) = Mᴰ。这种“能源学”（kinematic）想路的一个方面其后被一些东谈主发展为一个熟悉的“玄虚微分几何”（synthetic differential geometry）。

代数几何的灵敏，这是范围能源学中发展的基础，也不错引入并应用在方法光滑微分几何；劳维尔使用代数表面（在他1963年论文的意旨上），即n元运算是光滑函数ℝⁿ → ℝ的表面，至关热切的是不条件使用生成元和关系示意。

5 初等拓扑斯、代数几何和逻辑

劳维尔于1968-69年回到苏黎世科学考虑所（Forschungsinstitut）。此时的他，如故更信托，拓扑斯不仅看成范围能源学的布景，而且适用于采集论和逻辑的宗旨：布尔值模子，和力迫（如科恩Cohen 1963年对于连气儿统假设的使命）。在布拉加的采访中，他说：

这些显豁王人备不同的拓扑斯，触及无尽小的领略和高等逻辑，可能是统一个简短公理表面的一部分，是我 1967 年芝加哥课程的开心。直到我第二次待在科学考虑所之后，它才成为现实。1968-69年在瑞士苏黎世的时代，我发现了拓扑斯的幂集函子是考虑以基本术语抒发酿成相伴层（associated sheaf）的运算问题的成果，以及1969-1970之后通过我与迈尔斯·蒂尔尼（Myles Tierney）的合作 [...]。

此次合作发生在哈利法克斯（加拿大）：1969年，劳维尔在哈利法克斯的达尔豪西大学赢得了有名的基拉姆进修职位，其时被允许邀请十几个合作家（其中包括蒂尔尼），雷同得到基拉姆的复旧。这意味着在1969年至1971年时代，达尔豪斯成为一个吵杂的场地；异常是在数学上，初等拓扑斯的宗旨在这里苟且明确结晶。值得小心的是，劳维尔组织了SGA4[1]的预印本版块（exposé I-IV）被分发给他的研讨会的参与者（SGA4是阿廷，格罗滕迪克和韦迪尔的 “Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas”，直到1972年才持重出书）。

然则，在1971年，达尔豪西的梦之队被驱散了；大学行政部门拒却与劳维尔续约公约，因为他的政事行为抗议越南干戈和反对特鲁多的《战时条例》，以恐怖主义危机为借口暂停民事解放。（但在1995年，达尔豪斯独揽了行为庆祝范围论50年，劳维尔有参与）

劳维尔在1971年徜徉哈利法克斯前夜组织的一次会议，有热切的标题：“拓扑斯，代数几何和逻辑“，此次会议的论文集发表于1972年[6].

1971年离开哈利法克斯后，劳维尔成为奥胡斯（丹麦）的客座进修（1971-72年），以及佩鲁贾（意大利）的客座进修（1972-73年）。这些年，从哈利法克斯带来的拓扑斯表面的新见地，得到牢固和更无为传播。另外，1973年劳维尔终末假寓在布法罗（好意思国），以时短时长的拜访停留，与他的欧洲一又友和合作家保抓密切接洽；这包括1980-81年在IHÉS（巴黎）的一年。

咱们在哈利法克斯和其后学习的拓扑斯异常是“gros toposes 大拓扑斯”（如单纯集的拓扑斯），与“petit toposes 小拓扑斯”（如拓扑空间上的层拓扑斯）相对。这是SGA4，IV.4.10中所作的永诀。这种区别对劳维尔而言是考虑拓扑斯范围的一种输入，即在它们的函子相互关系中的拓扑斯。这些考虑是由好多考虑东谈主员开荒的，并纪录在好多半学专著、著述会通议中（有或莫得会议神志）。劳维尔相配积极地参与会议，常常看成特邀主讲东谈主；他对赢得他的想法的资产以及愿景以书面神志写下来不太积极。举例，他1967年在芝加哥对于范围能源学的独创性演讲，直到1978年才以书面神志在奥胡斯举行的抓续“灵通日”夏日会议中处理，主题为“几何中的拓扑斯表面方法”[5]。

1982年，劳维尔（与他在布法罗的共事Steve Schanuel史蒂夫·沙努埃尔一王人）在布法罗组织了一次会议，“连气儿介质物理学中的范围”，连气儿介质物理学的好多主要考虑东谈主员也参与其中，比如Truesdell（特鲁斯德尔）和Noll（诺尔）。会议纪录中的三篇著述 （发表在[8]) 处理热力学基础问题。

劳维尔于1977年在达勒姆热切的大型夏日会议的科学率领委员会中，其“层的应用” [4]，标记着在数学和物理表面宗旨化中诈骗相对简短的主题的打破。劳维尔在达勒姆作念了一个对于“热力学基础中的范围”的演讲，然则，我无法找到书面纪录。另一方面，如实接洽于劳维尔在此次会议上的演讲（有激烈的辩白）的纪录，标题是“数学的逻辑”，劳维尔在演讲中说了他对数学玄学和发展的看法。我把它包括在内，因为要是莫得反应他的政事/玄学生活和使命中不当协的脾气，那么劳维尔的讣告是不圆善的：

在这场达勒姆辩白中，劳维尔在演讲开动时说（把柄我的札记和记念）：

数学是考虑空间神志和数目关系的科学。数学的目标是什么？其目标是澄澈这种关系，以便看成东谈主们合作起来处分出产战斗中的问题（不是数知识题）以及这种战斗的持重性（即科学实验）的基础。

在演讲的早期阶段，如故出现了一位不雅众一个打断性的问题（可能是修辞）说：“出产的目标是什么？” 劳维尔想了好一刹才回应：“带你来这里！”

在演讲的后期，劳维尔说：

数学逻辑的目标；澄澈和简化学习、使用和数学的发展。[...]辩证的花式：还有一个反目标：邋遢、复杂化和抑遏数学的学习、使用和发展。异常是，通过促进来冻合髻展：探究将就一切都插足一个先入之见的框架[...]。这两个目标在咱们每个东谈主的内心都在相互战斗。[...]宽泛，反目标胜过目标。这是因为反目标相宜总揽阶层的利益。这是往时100年来发生了普遍变化的事情。把持资产阶层的利益反对出产力的发展。

6 公理内聚

这不是一个提供（我也无法提供）劳维尔数学和玄学使命的悉数方面圆善综述的场地。再提供一些环节词：概率、范围逻辑、目标/纤维范围、度量空间看成充实后的范围，语言学，无为与密集数目，物理量范围，格拉斯曼，公理内聚。

正如劳维尔2007[7]所讲，公理内聚的想法尤其导致了最近的新发展。

以下是2007年出书物的援用：

需要明确的内聚科学来讲明能源学数学表面的各式布景模子。这么的科学需要有实足的发达力，来讲明这些布景与其他数学范围有何不同，以及相互之间也不同，但又如斯合作，以致于它们不错相互转动。这种相互调度的日常例子是天气预告员从有限元方法（不错看作是组合拓扑斯中的分析）到连气儿介质热力学方程（不错看作是光滑函数和分散所在的光滑拓扑斯的分析）的应用。

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F. W. 劳维尔与作家在苏黎世Odeon咖啡馆， 1966年秋天

这种内聚公理科学的基础是一串四个函子p!  ⊣  p^*  ⊣  p_*  ⊣  p^! ,字符串中的每个字符串都与下一个字符串左随同。此类字符串的示例 在拓扑中很熟悉：

p! 将某空间的连气儿组件的采集关联到（充分好的）该空间，p^* 将采集上的闹翻空间结构关联到该采集，P_* 将其点集关联到该空间，终末P^! 将采集上的协闹翻空间结构关联到该采集。在拓扑斯范围中，这种字符串的属性组成了上述引文中条件的诸多辞别。

劳维尔建议的好多想法中唯有一部分如故写出来，更毋庸说发表、成形，但只以种子的神志存在于身边东谈主的想想和札记中。

也许，畴昔硕果累累的植物将从这些种子中长出来。要是种子更容易赢得，种子的发芽将得到加强。一些开荒此类档案的行为正在开展，异常是在 https://www.acsu.buffalo.edu/~wlawvere

对于作家：

安德斯·科克（Anders Kock）是丹麦奥胡斯大学数学系名誉进修。他于1963年毕业于奥胡斯大学，并于1963-67年在芝加哥和苏黎世的劳维尔率领下攻读博士学位。他于1969-70年在哈利法克斯担任博士后，并于1971-72年在奥胡斯与劳维尔合作。1973年5月、1978年5月、1983年6月，他在奥胡斯组织了为期两周的灵通日研讨会（劳维尔参加了这些研讨会），并从1966年到2018年参加了好多范围表面会议和研讨会。他是几本书的作家，如《Synthetic Differential Geometry 玄虚微分几何》（剑桥大学出书社，1981年，2006年第2版）和《流形的玄虚几何》（剑桥大学出书社，2010年）。

参考贵府

[1] M. Artin, A. Grothendieck and J. L. Verdier, Théorie des topos et cohomologie etale des schémas. Tome 1: Théorie des topos. Lecture Notes in Math. 269, Springer, Berlin (1972)

[2] M. M. Clemetino and J. Picado, Inteview with F. William Lawvere. http://www.mat.uc.pt/~picado/lawvere/interview.pdf (2007)

[3] B. Eckmann (ed.), Seminar on triples and categorical homology theory (ETH 1966/67). Lecture Notes in Math. 80, Springer, Berlin (1969)

[4] M. P. Fourman, C. J. Mulvey and D. S. Scott (eds), Applications of sheaves. Proceedings of the research symposium on applications of sheaf theory to logic, algebra and analysis (Durham 1977), Lecture Notes in Math. 753, Springer, Berlin (1979)

[5] A. Kock (ed.), Topos theoretic methods in geometry, Various Publications Series 30, Aarhus University, Aarhus (1979)

[6] F. W. Lawvere (ed.), Toposes, algebraic geometry and logic. Lecture Notes in Math. 274, Springer, Berlin (1972)

[7] F. W. Lawvere, Axiomatic cohesion. Theory Appl. Categ. 19, no. 3, 41–49 (2007)

[8] F. W. Lawvere and S. H. Schanuel (eds.), Categories in continuum physics. Lecture Notes in Math. 1174, Springer, Berlin (1986)

[9] F. W. Lawvere and S. H. Schanuel, Conceptual mathematics. Cambridge University Press, Cambridge (1997) (2nd ed. 2009)

[10] https://euromathsoc.org/magazine/articles/143

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